Studies of vector tomography

Abstract: Popular Abstract in Swedish Bakgrunden till den här avhandlingen är att man vill utveckla en ny mammografimetod, som utnyttjar ultraljud. När en tunn stråle av kontinuerligt ultraljud träffar en partikel, till exempel en blodkropp, som rör sig, så uppstår en reflektion. Frekvensen av den reflekterade signalen är inte densamma som för den utsända. Signalen har fått ett så kallat Dopplerskift, där frekvensskillnaden mellan reflekterad och utsänd signal är proportionell mot partikelns hastighetskomponent i ultraljudsstrålens riktning. En sådan reflekterad signal uppstår för varje partikel längs ultraljudsstrålen. Man får en funktion, där funktionsvärdet i x är proportionellt mot antalet partiklar längs strålen, med hastighetskomponenten x i strålens riktning. Den uppkomna funktionen för en viss stråle L benämnes Dopplerspektraltransformen av flödet längs L. Denna typ av mätning upprepas för ett stort antal strålar. Dopplerspektraltransformen transform är ny inom matematiken och svår att analysera på grund av sin olineära och kombinatoriska natur. Det går emellertid att, genom att bara använda en del av datan i Dopplerspektraltransformen, få ett rekonstruktionsproblem som påminner en hel del om det som uppkommer vid så kallad datortomografi. I vanlig datortomografi skickas röntgenstrålar genom objektet man vill undersöka. Då fås ett värde för varje använd stråle, där värdet i princip säger hur mycket ackumulerad dämpning (täthet) det finns längs strålen. Detta värde kan beskrivas av en linjeintegral. Ofta mätes detta värde för strålar som skär en skiva av objektet. Det finns en mängd metoder, att, utgående från sådana mätningar, avbilda skivans inre egenskaper. Ett av de tomogafiska problem som erhålles då endast en del av informationen i Dopplerspektraltransformen användes, är liknande, fast värdet för respektive stråle är en linjeintegral, där integranden är flödets hastighetskomponent i strålens riktning i stället för tätheten. Denna transform kallas vektoriell X-raytransform. Det visar sig att man från denna transform kan bestämma den ena utav två delar i en så kallad Helmholtzuppdelning av flödet. Avhandlingen består i princip av två huvudspår. Det ena är att studera den vektoriella X-raytransformen och ta reda på vilka andra integraltransformer som behövs, för att bestämma hela flödet. Det visar sig att det går bra med en så kallad normalflödesRadontransform, där man integrerar över plan. Därvid är det flödets normalkomponent till planet som utgör integrand. Olika metoder för att bestämma flödet från dessa och andra liknande transformer utvecklas. Det andra huvudspåret är att studera hela Dopplerspektraltransformen. Först visas att i ett specialfall är i själva verket hela flödet, upp till en viss känd typ av tvetydigheter, bestämd av den och sedan presenteras en numerisk metod, som kan räkna ut flödet.