Spatial and Physical Splittings of Semilinear Parabolic Problems

Abstract: För att skapa matematiska beskrivningar av fysiska fenomen inom bland annat naturvetenskap, teknik och medicin används ofta partiella differentialekvationer. Listan med tillämpningar kan göras hur lång som helst: sådana ekvationer kan beskriva hur en snöflinga bildas, hur strukturer deformeras när de utsätts för mekaniska krafter, hur partiklar interagerar på kvantnivå, hur blodet flödar i hjärnans kapillärer, hur axontillväxten ser ut i nervceller och så vidare. Den sistnämnda tillämpningen återkommer vi till. Genom att använda partiella differentialekvationer för att skapa matematiska modeller av fysiska fenomen kan vi nå en djupare förståelse av komplexa processer. Dessutom är skapandet och analysen av en matematisk modell i allmänhet betydligt billigare än fysiska experiment. Såsom antyds av listan med tillämpningar används partiella differentialekvationer ofta för att modellera processer som varierar i både tid och rum. Dessa ekvationer kan nästan aldrig lösas exakt. Istället används i praktiken numeriska metoder för att hitta approximativa (ungefärliga) lösningar med hjälp av datorer. Givetvis är det av största vikt att metoderna som används är både snabba och noggranna. Att säkerställa detta är centralt i den forskning som genomförs inom numerisk analys.I många fall kan partiella differentialekvationer vara så komplicerade att det inte är tänkbart att hitta en approximativ lösning till hela ekvationen på en gång. Istället kan man dela upp ekvationen i delar som var och en är betydligt enklare att approximera. Sådana uppdelningar kallas för splittingformuleringar och numeriska metoder som använder sig av dessa kallas för splittingmetoder. Givetvis införs ett approximationsfel när delarna hanteras separat. Vi måste väga förenklade beräkningar mot ett ökat fel. För att kunna göra detta måste vi förstå oss på hur felet ser ut.Vi kräver alltså att våra numeriska metoder är både snabba och noggranna. Det sistnämnda innebär att metoderna genererar små approximationsfel. Genom att uppskatta dessa fels storlek kan man avgöra hur noggrann en approximation är. Av speciellt intresse är feluppskattningar som skildrar hur mycket felet minskar om man ökar mängden datorkraft som används i beräkningarna. I denna avhandling härleder vi feluppskattningar för ett antal splittingmetoder. Vilken noggrannhet vi får beror på vilken splittingmetod som analyseras och på egenskaper hos lösningen till den approximerade differentialekvationen.Vår analys gäller för splittingmetoder när de appliceras på så kallade semilinjära partiella differentialekvationer. Viss konvergensordningsanalys för sådana ekvationer finns sedan tidigare i litteraturen men då under begränsande antaganden som utesluter många intressanta fall. Våra resultat, å andra sidan, kan appliceras på många olika klasser av semilinjära ekvationer.Vi lägger extra fokus på att använda våra konvergensresultat för att analysera två olika splittingformuleringar: fysikaliska och rumsberoende. För ett klassiskt exempel på den förstnämnda föreställer vi oss luftföroreningar i atmosfären. Med en fysikalisk splitting kan föroreningarnas rörelser (diffusion) hanteras separat från deras kemiska reaktioner med varandra. För ännu effektivare beräkningar kan vi dessutom införa en rumsberoende splitting. Till exempel kan vi alternera mellan olika riktningar i atmosfären och beräkna föroreningarnas diffusion i en riktning åt gången. Alternativt kan vi hantera diffusionen i olika delar av atmosfären var för sig. En numerisk metod baserad på dessa splittingformuleringar lämpar sig väl för parallella beräkningar, till exempel på ett kluster av datorer. Utöver de generella analyser som vi diskuterat hittills genomför vi också en djupare studie av en semilinjär partiell differentialekvation hämtad från en tillämpning inom teoretisk biologi. Från varje nervcell växer en lång, tubformad nervtråd ut från cellkroppen. Utväxten kallas axon och byggs upp av proteinet tubulin. Detta protein produceras i cellkroppen och transporteras sedan längs med axonet för att slutligen monteras i andra änden av denna nervtråd. För att simulera dessa processer skapar vi en matematisk modell som bland annat består av en partiell differentialekvation. Sedan approximerar vi modellen via en fysikalisk splitting som låter oss hantera tubulinets förflyttning längs axonet separat från uppbyggnadsprocessen i axonets ände. Våra experiment visar att en numerisk metod baserad på denna splittingformulering ger snabba beräkningar och noggranna resultat.