Efficient Algorithms for Graph-Theoretic and Geometric Problems

Abstract: Popular Abstract in Swedish Avhandlingen studerar flera olika algoritmiska problem inom grafteori och geometri, applikationerna sträcker sig från kretskortsdesign till matrismultiplikation. Vi börjar med att studera en grafteoretisk modell för det så kallade "firefigher problem". Målet med detta problemet är att rädda så mycket som möjligt av en given area genom att placera ut brandmän på relevanta punkter. Vi visar nya exakta algoritmer i det fallet för generella grafer samt approximationsalgoritmer i fallet med planära grafer. I nästa avsnitt behandlas problemet att rita en graf inuti en avgränsande polygon i planet. Vi presenterar asymptotiskt ekvivalenta övre och undre gränser för lösningar till problemet. Vidare studeras problemet med att finna delgrafisomorfier, problemet utgörs av att givet två grafer (kallade "pattern" och "host") avgöra om det finns en isomorfi mellan noderna i "pattern" och noderna av en delgraf i "host". Vi visar flera nya undre gränser för tidskomplexiteten för detektering av olika små grafer med 4 noder. Vi visar även en ny metod för detektering av genom att evaluera om ett polynom ej är ekvivalent med nollpolynomet. Slutligen studeras problemet att paritionera ett 3D histogram i ett minimalt antal rätblock samt en applikation för metoder för matrismultiplikation när matriserna endast innehåller positiva heltal. Vi visar en effektiv approximationsalgoritm för partitioneringsproblemet och flera olika algoritmer för matrismultiplikationen. Alla multiplikationsalgoritmer bygger explicit eller implicit på att vi tolkar en positiv heltalsmatris som ett 3D histogram och sedan använder den följande partitionen.