Option Pricing and Bayesian Learning

Abstract: Popular Abstract in Swedish En europeisk köpoption ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att köpa en underliggande tillgång till ett visst pris, lösenpriset, vid ett bestämt datum, lösendagen. En europeisk säljoption definieras på motsvarande sätt: den ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten att sälja den underliggande tillgången. En teori för hur denna typ av finansiella kontrakt ska prissättas gavs 1973 av Fischer Black och Myron Scholes. Traditionell nationalekonomi gör antagande om individers preferenser för att nå fram till en tillgångs pris i jämvikt, det vill säga då utbudet är lika med efterfrågan. Black och Scholes metod för prissättning av optioner tar istället jämviktspriset för den underliggande tillgången som given. Ett centralt begrepp i teorin är kompletta marknader, med vilket avses att det är möjligt att generera vilka inkomstströmmar som helst i varje tillstånd. Då marknaderna är kompletta gäller att man kan bilda en så kallad replikerande portfölj som ger exakt samma inkomstströmmar som tillgången man vill prissätta (optionen). Under förutsättning att marknaderna är effektiva, så att inga arbitrage möjligheter föreligger, måste då optionen ha samma pris som kostnaderna för att bilda den replikerande portföljen. Black and Scholes antog att avkastningen på den underliggande tillgången var normalfördelad. Deras metod att prissätta derivattillgångar som optioner har gett upphov till det som ibland kallas finansiell ingenjörskonst, som till skillnad från traditionell nationalekonomi inte arbetar med jämviktsmodeller där antagande om individers preferenser är centrala. Black och Scholes teori bygger också på att variansen hos den underliggande tillgångens avkastning är konstant. Detta antagande har visats stämma illa med verkligheten; istället uppvisar den implicita variansen som är konsistent med formeln ofta ett U-format mönster då den relateras till lösenpris eller återstående tid till lösendag. Fenomenet brukar kallas volatilitets-leende. Denna avhandling syftar till att undersöka och förklara volatilitets leendet inom ramverket för traditionell nationalekonomi. I kapitel 1 undersöks data för europeiska köp- och säljoptioner på det svenska OMX indexet för åren 1993-2000. OMX är ett index som utgörs av de 30 aktier som har störst omsättning på Stockholmsbörsen. För både köp- och säljoptioner extraheras den implicita volatiliteten från den så kallade binomialformeln, motsvarigheten till Black och Scholes formel i diskret tid. Dessa implicita volatiliteter relateras sedan till lösenpris och återstående tid till lösen. Dessa varierar betydligt under de åtta åren som studeras. Både köp- och säljoptioner uppvisar högst implicit volatilitet för kontrakt med kort återstående löptid. I allmänhet är den implicita volatiliteten högre för säljoptioner än för köpoptioner. För att mäta graden av avvikelse från antagandet om konstant varians beräknas också styrkan hos volatilitets leendet, med vilket avses variansen i de implicita volatiliteterna. För både köp- och säljoptioner är styrkan hos volatilitets leendet avtagande i återstående löptid. Styrkan hos volatilitets leendet är i allmänhet högre för säljoptioner än för säljoptioner. För både köp- och säljoptioner är både den implicita volatiliteten och styrkan hos volatilitets leendet som högst för extrema värden på lösenpriset. I kapitel 2 presenteras en jämviktsmodell för prissättning av finansiella tillgångar. I modellen antas aktien betala utdelningar som utvecklas i ett binomialträd; vid varje tidpunkt kan utdelningen antingen vara hög eller låg. Modellen kan indelas i två specialfall: fallet med Full Information och fallet med Bayesiansk inlärning. Vid Full Information antas sannolikheten för uppgång/hög utdelning vara konstant över tiden. I fallet med Bayesiansk inlärning är däremot sannolikheten beroende på den historiska utvecklingen hos utdelningarna; efter varje realisering av utdelningen reviderar individen sin uppfattning av sannolikheten för uppgång. Parametrarna i den sannolikhetsfördelning som impliceras av Bayesiansk inlärning reflekterar individens sannolikhetsuppfattning, men också styrkan i inlärningen. I kapitel 2 ges också en beskrivning av förhållandet mellan den diskreta versionen av Black och Scholes? köpoptionsformel och motsvarande formel för jämviktsmodellen med full information. Genom att välja parametrarna på lämpligt sätt ger de två modellerna samma pris. Formeln för aktiepriset med Bayesiansk inlärning utgörs av en oändlig summa av diskonterade utdelningar. En approximation av denna formel leder till ett slutet uttryck som lämpar sig bättre för beräkningar. Modellen förenklas ytterligare av att en normalisering görs så att styrkan i inlärningen bara beror på en parameter. I kapitel 3 testas (approximationen av) köpoptionsformeln med Bayesiansk inlärning på den data som undersöktes i kapitel 1, och jämförs med Black och Scholes diskreta formel och modellen med full information, samt en modell som tillåter att variansen i Black och Scholes formel beror på lösenpris och återstående löptid. Resultaten visar att modellen med Bayesiansk inlärning har störst förmåga att passa data inom samplet. Även modellernas förmåga att göra förutsägelser för framtida optionspriser testas. När det gäller en-dags prognoser är Bayesiansk inlärning överlägsen, medan modellen med full information är överlägsen när sju-dagars prognoser beaktas. Att införa Bayesiansk inlärning visar sig särskilt betydelsefullt för kontrakt med höga lösenpris.