Analyses and Applications of the Peaceman--Rachford and Douglas--Rachford Splitting Schemes

Abstract: Popular Abstract in Swedish Partiella differentialekvationerna} är kraftfulla verktyg som kan användas för att beskriva fysikaliska fenomen inom bland annat naturvetenskap, teknik, ekonomi och medicin. Listan med tillämpningar kan göras hur lång som helst: Partiella differentialekvationer kan beskriva hur en snöflinga bildas, hur strukturer deformeras när de utsätts för mekaniska krafter, hur blodet flödar i hjärnans kapillärer, hur axontillväxten ser ut i nervceller och så vidare. Den sistnämnda tillämpningen återkommer vi till. Genom att använda partiella differentialekvationer för att skapa matematiska modeller av fysikaliska fenomen kan vi nå en djupare förståelse av komplexa processer. Dessutom är skapandet och analysen av en matematisk modell i allmänhet betydligt billigare än fysiska experiment. Såsom antyds av listan med tillämpningar används partiella differentialekvationer ofta för att modellera dynamiska system definierade över ett område i rummet. Modeller av komplicerade processer där många fysikaliska fenomen samverkar leder ofta till stora ekvationssystem där varje obekant varierar med tid och rum. Sådana system av partiella differentialekvationer kan nästan aldrig lösas exakt. Istället används i praktiken numeriska metoder för att hitta approximativa lösningar med hjälp av datorernas enorma beräkningskapacitet. Givetvis är det av största vikt att metoderna som används är både effektiva och pålitliga. Att säkerställa detta är centralt i den forskning som genomförs inom numerisk analys. I många fall kan system av partiella differentialekvationer vara så komplicerade att det inte är tänkbart att hitta en approximativ lösning till hela systemet på en gång. Istället delar man upp systemet i mindre problem och approximerar dem var för sig. Metoder som tillämpar denna idé kallas splittingmetoder. Givetvis införs ett approximationsfel när en sådan splitting genomförs. Vi måste alltså väga förenklade beräkningar mot ett ökat fel. För att kunna göra detta måste vi förstå oss på hur felet ser ut. Många analyser av splittingfel har tidigare genomförts för olika sorters splittingapproximationer applicerade på olika familjer av partiella differentialekvationer. I forskningen som presenteras i denna uppsats analyserar vi de splittingmetoder som går under namnet alternative direction implicit methods (ADI-metoder). Dessa användes för första gången i början av 50-talet för att lösa värmeledningsproblem i flera dimensioner. Modellen gavs även där av en partiell differentialekvation och lösningstekniken var att alternera mellan de olika rumsdimensionerna och lösa ekvationen en dimension åt gången. I vår forskning utvidgar vi felanalysen för ADI-metoder till nya familjer av partiella differentialekvationer. Vår analys täcker till exempel in modeller för skapandet av snöflingor och modeller för mönsterbildning i naturen. För dessa modeller och för många, många fler har vi nu en god förståelse för hur stort approximationsfel som skapas när en splitting genomförs. Som nämndes tidigare modellerar partiella differentialekvationer ofta fysikaliska system som varierar både i tid och rum. ADI-metoderna approximerar lösningarnas variation med tiden. Men, för att kunna göra beräkningar på en dator måste dessa metoder kombineras med en metod som approximerar variationen i rummet. I vår forskning har vi därför dessutom analyserat sådana metodkombinationer. Analysen täcker till exempel in det ovan nämnda splittingförfarande för värmeledningsekvationen. Vi har också genomfört en djupare analys av den tidigare nämnda tillämpningen angående axontillväxt i nervceller. I en sådan cell växer en lång, tubformad nervtråd ut från cellkroppen. Utväxten kallas axon och byggs upp av proteinet tubulin. Detta protein produceras i cellkroppen och färdas sedan längs med axonet för att slutligen monteras i andra änden av denna nervtråd. För att beskriva dessa processer skapar vi en matematiska modell som bland annat består av en partiell differentialekvation. Vi applicerar en ADI-metod för att hantera tubulinets förflyttning längs axonet separat från uppbyggnadsprocessen i axonets ände. Våra experiment visar att denna splittingmetod ger effektiva och pålitliga numeriska resultat.