Asymptotic Analysis of Hedging Errors Induced by Discrete Time Hedging

Abstract: Popular Abstract in Swedish Under de senaste decennierna har matematisk modellering av finansiella marknader rönt stor uppmärksamhet både inom akademi och inom industri. Ett område som har visats särskilt intresse är prissättning av finansiella instrument så som optioner. En europeisk köpoption på en underliggande aktie är ett kontrakt som ger innehavaren rätten att vid en förutbestämt tidpunkt, kallad slutdag, köpa den underliggande aktien till ett förutbestämt pris, kallat lösenpris. Om aktiens värde vid slutdagen är mindre än det överenskomna lösenpriset är värdet på optionen vid denna tidpunkt lika med noll. Om istället aktiens värde är större än lösenpriset är optionens värde lika med skillnaden mellan aktiens värde och lösenpriset. Detta innebär att den som säljer en option utsätter sig för en risk, nämligen risken för att aktiens värde vid slutdagen är större än lösenpriset och i det fall behöva betala ut skillnaden mellan aktiens värde och lösenpriset. En central frågeställning inom finansiell matematik är hur man ska prissätta denna typ av kontrakt. Alltså, vilket pris ska säljaren begära för optionen för att vara villig att utsätta sig för den risk det innebär att ställa ut en option och vilket pris kan köparen tänkas vara villig att betala för chansen att aktiens värde är större än lösenpriset. I en artikel av Fisher Black and Myron Scholes från 1973 visas hur optioner under särskilda antaganden om den finansiella marknaden kan prissättas och hur risken associerad med att ställa ut en option helt kan elimineras. För att säljaren av optionen ska kunna eliminera risken krävs att pengarna från försäljningen av optionen investeras i den underliggande aktien och i ett bankkonto, och att säljaren har möjlighet att kontinuerligt handla i dessa två tillgångar. Har säljaren av optionen handlat i den underliggande aktien och bankkontot på rätt sätt kommer sedan värdet av portföljen bestående av den underliggande aktien och pengarna på bankkontot vara lika med värdet på optionen vid slutdagen. Att handla i den underliggande aktien och bankkontot med avsikt att reducera risken kopplad till försäljningen av en option kallas hedging och portföljen bestående av aktien och bankkontot kallas ofta för hedge-portfölj. Om utställaren av optionen inte har möjlighet att handla kontinuerligt kommer det uppstå en skillnad mellan värdet på optionen och värdet på portföljen på slutdagen. Denna skillnad som kallas hedge-fel är i regel slumpmässig. Huvudmålet med denna avhandling är att undersöka särskilda slumpmässiga egenskaper hos hedge-fel som är inducerade av diskret justering av hedge-portföljen. I den första delen av avhandlingen undersöker vi hedge-felet då hedge-portföljen justeras adaptivt och härleder ett uttryck som kan användas till att få en uppfattning om hedge-felets varians. Vi undersöker även situationer där hedge-portföljen förutom den underliggande aktien och bankkontot även innehåller en option på samma underliggande aktie men med annan slutdag och lösenpris. Vi visar att denna hedge-portfölj presterar väsentligt bättre än en hedge-portfölj som endast innehåller den underliggande aktien och bankkontot. En matematisk modell av en finansiell marknad innehåller en uppsättning parametrar som på förhand är okända. Att skatta parametrarna i en matematisk modell från observerade marknadspriser på optioner kallas att kalibrera modellen. En observation av skattade parametrar från marknadsdata är att parametrar som enligt den matematiska modellen ska vara konstanta från dag till dag i själva verket inte alls kan sägas vara konstanta. I den sista delen av avhandlingen introducerar vi ett statistiskt ramverk som tar hänsyn till med tiden varierande parametrar och osäkerheten i observerade optionspriser på ett konsistent vis. Vi redogör även för hur dessa parametrar sekventiellt från dag till dag kan kalibreras med hjälp av rekursiva filter så som Kalmanfilter.