Optimal Stopping Domains and Reward Functions for Discrete Time American Type Options

Abstract: Avhandlingen behandlar problemet att välja tidpunkt för att lösa in en amerikansk option. En amerikansk option ger ägaren rätten att köpa eller sälja en underliggande vara för ett fast pris, kallat lösenpriset, fram till och med en förbestämd tid, den så kallade slutdagen. Den underliggande varan kan vara en aktie, en växelkurs, eller någon annan ekonomisk tillgång. I avhandlingen antar vi att optionen kan lösas in vid vissa givna tidpunkter som vi för enkelhets skull kallar 0,1, 2,…,N, där N är lösendagen.Ägaren vill hitta den optimala tidpunkten att lösa in optionen så att nuvärdet av den förväntade avkastningen maximeras. Att hitta den optimala tidpunkten att lösa in optionen är ett så kallat optimalt stopptidsproblem i diskret tid. I det optimala stopptidsproblemet observerar vi en följd av slumpmässiga värden (t.ex. aktiepriser) och söker efter den optimala tidpunkten att sluta observera följden och få en avkastning som bestäms av det senaste observerade värdet. Det är optimalt att lösa in optionen om avkastningen för det senaste observerade värdet är större än den förväntade framtida avkastningen givet det senaste observerade värdet.Utifrån denna regel kan vi för varje tidpunkt identifiera vilka värden som tillhör den optimala stoppmängden, d.v.s. mängden av alla värden för vilka det är optimalt att avsluta observationerna och lösa in optionen. Den optimala tidpunkten att lösa in optionen är den första tidpunkten då värdet på den underliggande varan observeras i den optimala stoppmängden.Avhandlingen består av två olika studier med anknytning till det optimala stopptids-problemet. I den första studien, se artiklarna A, B, C och D, undersöks strukturen på den optimala stoppmängden. I den andra studien, se artikel E, studeras värdet av den optimala strategin.I artikel A presenteras en experimentell studie av hur strukturen på de optimala stoppmängderna beror på vilken avkastningsfunktion som en amerikansk köpoption har. Avkastningsfunktionen bestämmer hur avkastningen ska beräknas utifrån det observerade värdet. I artikeln visas att den optimala stoppmängden kan till exempel vara ett intervall av värden så att det finns ett tröskelvärde för vilket alla värden som är större än detta tröskelvärde tillhör den optimala stoppmängden. Den optimala stoppmängden kan även vara en union av två eller flera intervall där det mellan intervallen finns värden för vilket det är optimalt att fortsätta att äga optionen.I artikel B, C och D ges tillrackliga villkor på avkastningsfunktionerna så att det finns ett tröskelvärde så att de optimala stoppmängderna har en enkel intervallstruktur. Artikel B behandlar amerikanska köpoptioner med avkastningsfunktioner som är konvexa och icke-avtagande med avseende på värdet på den underliggande varan. Prisprocessen, som beskriver utvecklingen värdet på den underliggande varan i tiden, är i denna artikel en inhomogen multiplikativ Markovprocess. Det tillräckliga villkoret på avkastningsfunktionen kan uttryckas på följande sätt: Om värdet av den underliggande varan vid en tidpunkt ändras, så ska förändringen av avkastningen vid den tidpunkten vara större än förändringen av den förväntade avkastningen vid följande tidpunkt.Artikel C och D utökar villkoren givna i artikel B till att gälla även optioner med icke-växande (artikel C) och icke-avtagande (artikel D) avkastningsfunktioner motsvarande säljoptioner respektive köpoptioner. Prisprocessen antas i dessa artiklar vara en generell inhomogen Markovprocess i diskret tid. De tillräckliga villkoren för avkastningsfunktionen kan i båda artiklarna uttryckas på liknande sätt som villkoret i artikel B.I den andra studien, se artikel E, studeras hur värdet av den optimala strategin påverkas om det finns en störning som påverkar avkastningsfunktionerna och övergångssannolikheterna för prisprocessen. Värdet på den optimala strategin för ett observerat värde som är i den optimala stoppmängden definieras som värdet av avkastningen som vi får om vi löser in optionen. Om det observerade värdet ar utanför stoppmängden är värdet på den optimala strategin lika med den förväntade framtida avkastningen givet det observerade värdet. I artikeln ges villkor på avkastningsfunktionerna och övergångssannolikheterna så att värdet på den optimala strategin i det "störda" fallet närmar sig värdet på den optimala strategin i det "ostörda" fallet när störningen i avkastningsfunktionerna och övergångssannolikheterna avtar mot noll.