Titchmarsh-Weyl M-function asymptotics and some results in the inverse spectral theory for vector-valued Sturm-Liouville equations and a certain higher order ordinary differential equation

Abstract: Popular Abstract in Swedish Denna avhandling utgöres av två separata rapporter, där studieobjektet för den första är en vektorvärd Sturm-Liouville ekvation på formen -(PU')'+QU=zU, xin[0,b), med P^{-1},W,Q hermiteska med lokalt integrerbara matriselement; och under vissa ytterligare villkor på P^{-1} och W. Under dessa förutsättningar härleds några huvudresultat beträf- fande asymptotiken, då z ightarrowinfty, för Titchmarsh-Weyls M-funktion svarande mot nämnda ekvation. Vi kommer också att, i specialfallet av att P=W=I, formulera och bevisa några satser av Borg-Marchenko typ för den i detta fall aktuella ekvationen. Den andra ingående rapporten behandlar en högre ordningens ordinär differential ekvation på formen sum_{j,k=0}^{m}D^{j}a_{jk}D^{k}u=zu, xin[0,b), där D=id/dx, och där koefficien- terna a{jk}, j,kin[0,m], med a_{mm}=1, satisfierar vissa regularitetsvillkor och väljes så att matrisen (a_{jk}) blir hermitesk. Vi antar också att m>1. Medelst bruk av Paley-Wiener metoder kommer vi då att bevisa att motsvarande spektralmått bestämmer ekvationen entydigt upp till konjugering med en funktion av absolutbelopp 1. Vi kommer också att diskutera under vilka tilläggsvillkor som spektralmåttet entydigt bestämmer koefficenterna a_{jk}, j,kin[0,m], j+k<2m, såväl som b och randvillkoren i 0 och även ev. randvillkor i b.