Continuity and Positivity Problems in Pseudo-differential Calculus

Abstract: Popular Abstract in Swedish Inom fysiken studeras bl a olika jämviktssystem. Med ett system i jämviktsläge menas att det krävs en yttre kraft för att ändra på tillståndet i systemet. För att beskriva det mera matematiskt kan vi (ofta) relatera systemet ifråga till en s k operator. För operatorer definieras ett annorlunda positivitetsbegrepp än för vanliga tal och man kan stoppa in olika objekt som operatorn operarar på och få ut olika värden. Det minsta värdet för operatorn beskriver systemets grundtillstånd, eller om man så vill dess lägsta energitillstnd. De olika energinivåerna för systemet är av allmänt intresse. Om den högsta möjliga energinivån är ändlig blir operatorn kontinuerlig. Exempel på sådant system är ett barn som klättrat upp i en klätterställning. När det väl har kommit högst upp har det erhållit maximal energi för systemet. Om vi dessutom har att summan av möjliga energiniver för systemet är ändligt kommer motsvarande operator att bli en "extrasnäll" sådan som kallas för en spårklassoperator. För att studera olika snällhetsklasser bland de kontinuerliga operatorerna införs s k Schatten-von Neumannklasser av ordning p för operatorer. Om p=1 erhålls spårklassoperatorerna, som är de snällaste, varefter de blir obehagligare med växande p. I de flesta praktiska situationer kan operatorn för systemet relateras till en s k Weylsymbol som är en generaliserad funktion, en s k distribution. Vi låter sp vara de distributioner, vars motsvarande operatorer ligger i Schatten-von Neumannklassen av ordning p. I första delen av arbetet visas några allmänna resultat för olika sp, där vi visar att dessa kan filtreras genom varandra (i en s k faltning) och även med funktioner som ligger i de inom matematiken kända L p-rummen. I andra delen av arbetet visas att vissa villkor på Weylsymbolen leder till att systemet ifråga har en minsta energi. Resultaten är nära relaterade till Hörmanders förbättring av Melins olikhet. I sista delen av arbetet studerar vi entropibegreppet i matematisk tappning (,d v s funktioners entropi). Vi visar att i vissa fall kan dessa begrepp vara till stor nytta för att bestämma minimal energi för givet system.