Constructive Methods for SAGBI and SAGBI-Gröbner Bases

Abstract: Popular Abstract in Swedish Avhandlingen består av en introduktion och följande artiklar: Artikel I: Using resultants for SAGBI basis verification in the univariate polynomial ring. Författare: Anna Torstensson, Victor Ufnarovski och Hans Öfverbeck. Sammanfattning: En resultant-identitet för polynom i en variabel bevisas och används för att karakterisera SAGBI-baser för underalgebror genererade av två polynom. Ett nytt villkor, uttryckt i graden av en kroppsutvidgning, ekvivalent med att två polynom i en variabel bildar en SAGBI-bas härleds. Artikel II: Automaton Presentations of Noncommutative Invariant Rings. Författare: Hans Öfverbeck. Sammanfattning: En ny presentation av den ickekommutativa invariantringen under en ändlig permutationsgrupp introduceras. Hjärtat i denna presentation är en ändlig tillståndsmaskin som representerar invarianternas ledande ord. Som en tillämpning så beskriver vi hur den nya presentationen kan användas för att beräkna Hilbert-serien för invariantringen. Vi beskriver även hur presentationen kan användas för att bestämma en fri genererande mängd för invariantringen. Artikel III: How to Calculate the Intersection of a Subalgebra and an Ideal. Författare: Hans Öfverbeck. Sammanfattning: En ny karakterisering av snittet mellan ett ideal och en underalgebra i en kommutativ polynomring visas. Karakteriseringen används som grund för en pseudo-algoritm för att beräkna snittet av en underalgebra och ett ideal. Pseudo-algoritmen bygger på SAGBI-Gröbner-baser, och indirekt även SAGBI-baser. Artikeln innehåller även en beskrivning av en implementation i Maple av konstruktionsalgoritmerna för SAGBI och SAGBI-Gröbner-baser, samt en beskrivning av hur denna implementation kan användas för att beräkna snittet mellan ett ideal och en underalgebra. En jämförelse med en sedan tidigare känd metod för att beräkna snittet mellan ett ideal och en underalgebra är inkluderad. Artikel IV: A note on Computing SAGBI-Gröbner bases in a Polynomial Ring over a Field. Författare: Hans Öfverbeck. Sammanfattning: Miller har konkretiserat Sweedlers teori för ideal-baser i kommutativa värderingsringar till fallet underalgebror i en polynomring över en kropp, ideal-baserna kallas SAGBI-Gröbner-baser i detta fall. Miller bevisar en konkret algoritm för att konstruera och verifiera en SAGBI-Gröbner-bas, givet en mängd av generatorer för ett ideal i en underalgebra. Syftet med denna artikel är att presentera en observation, ett slags SAGBI-Gröbner motsvarighet till Buchbergers första kriterium, som visar att man, utan att förlora något, kan minska storleken på den så kallade syzygy-familjen hörande till ett par av polynom. Färre element i syzygy-familjen betyder att färre syzygy-polynom behöver kontrolleras i konstruktions/verifieringsalgoritmen för SAGBI-Gröbner-baser, således minskas beräkningstiden.