Crossings and maxima in Gaussian fields and seas

Abstract: Popular Abstract in Swedish Med ett stokastiskt fält (random field) kan man matematiskt modellera en yta vars struktur och variationer i större eller mindre utsträckning kan beskrivas som slumpmässiga. Ett typexempel är havsytan. Det finns vissa ''regler'' för hur den kan se ut, men det exakta utseendet hos en viss våg uppfattas som slumpmässigt. Reglerna omfattar bland annat medelnivån, hur vanliga olika frekvenser och vågtal är samt vågornas möjliga höjdvariationer. Allt detta kan sammanfattas i det stokastiska fältets fördelning (distribution) och energispektrum (spectrum eller spectral density). Ett spektrum talar om hur stor del av havets totala energi som vågor med en viss frekvens utgör. Alla exempel i denna avhandling behandlar normalfördelade fält (Gaussian fields), vilket betyder att nivån i en godtyckligt vald punkt är normalfördelad kring medelnivån. Dimensionen på det stokastiska fältet anges efter parametern (koordinaterna). En stillbild av havet är tvådimensionell (två rumskoordinater) medan en rörlig yta är tredimensionell (två rums- och en tidskoordinat). Det är naturligtvis inte bara havet och likande ytor som kan modelleras med stokastiska fält, utan även ''ytor'' i högre dimensioner. Exempelvis kan koncentrationen av en luftförorening modelleras med ett fyrdimensionellt fält, tre rums- och en tidskoordinat. Om parametern är endimensionell, t.ex. bara tid, talar man om en stokastisk process. I avhandlingen koncentrerar vi oss på korsningspunkter (crossing points) i de stokastiska fälten. Detta är punkter där fältet, dess gradient (lutning) eller dylikt passerar en viss nivå. Det kan exempelvis vara där fältet passerar medelnivån eller där lutningen är noll (så kallade stationära punkter). I ett stokastiskt fält med känd fördelning (t.ex. normalfördelning) och känt spektrum kan man beräkna intensiteten för korsningspunkter av olika typer, d.v.s. hur vanliga de är, med hjälp av en generalisering av Rice formel (Rice's formula), som är mycket central i sammanhanget. Nästa steg är att definiera korsningsvariabler relaterade till korsningspunkterna. Till en stationär punkt kan exempelvis nivån eller krökningen kopplas. För sådana variabler härleder vi fördelningen, d.v.s. hur variabelns möjliga värden fördelar sig sannolikhetsmässigt. De fördelningar vi studerar kallas ergodiska fördelningar (ergodic distributions). Dess fördelningsfunktion, d.v.s. sannolikheten att variabelns värde är mindre än ett visst värde, ges av kvoten mellan antalet observerade korsningspunkter där variabelns värde understiger det specificerade värdet och totala antalet observerade korsningspunkter. När antalet observerade korsningspunkter går mot oändligheten konvergerar denna kvot mot kvoten mellan intensiteten av korsningspunkter där variabelns värde understiger det specificerade värdet och intensiteten av alla korsningspunkter. Avhandlingen är sammansatt av fem artiklar, i vilka vi studerar olika tillämpningar av stokastiska fält, korsningspunkter och fördelningar för korsningsvariabler. Härledda formler för fördelning och tillhörande täthetsfunktion är ofta komplicerade och stor tonvikt läggs på beräkningsmetoder samt tolkning och förståelse av resultaten. I alla artiklar ges utförliga tillämpade exempel.