Gradient Methods for Large-Scale and Distributed Linear Quadratic Control

Abstract: Popular Abstract in Undetermined I den här populärvetenskapliga sammanfattningen berörs avhandlingen Gradient Methods for Large-Scale and Distributed Linear Quadratic Control. Hur kan jetflygplan hålla sig i luften? Hur kan en Segway balansera en människa? Dessa frågor och många fler kan besvaras med hjälp av reglerteknik. Reglerteknik är ett område som behandlar hur man automatiskt styr system och processer så att de beter sig på ett önskat sätt. Genom insignaler eller styrsignaler till ett system, exempelvis motorn som driver hjulen i en Segway, kan systemet påverkas för att styra dess beteende. Utsignaler eller mätsignaler är sättet att mäta och utvärdera systemets beteende. I en Segway mäts bland annat dess lutning och acceleration. Målet med reglerteknik är att designa en regulator, som kontinuerligt får mätningarna från systemet och utifrån dessa bestämmer insignalerna till systemet för att få bästa möjliga beteende. Vad som är bästa beteende är något som måste kvantifieras, exempelvis ska systemet följa en referens så bra som möjligt eller ska den vara sparsam med användande av styrsignal och således vara mer ekonomisk. För att kunna analysera systemet som ska styras, ställs matematiska modeller upp för att beskriva just hur påverkan mellan in- och utsignaler ser ut. Utifrån dessa modeller finns flera metoder att designa regulatorn till systemet. En sådan metod kallas linjär-kvadratisk reglering. I denna bestäms prestandan av regulatorn genom att vikta systemets förväntade beteende och insignalerna som krävs för att ge detta beteende. Denna metodik har varit känd i över 50 år. För små och mellanstora systemmodeller finns det metoder med vilka regulatorn kan beräknas effektivt. Desto mer komplext ett system är, desto större modeller krävs för att beskriva det med bra noggrannhet. Det är inte ovanligt med modeller med tiotusentals variabler. För sådana system är inte konventionella metoder för att beräkna linjär- kvadratisk regulatorer längre applicerbara. Anledningen är att beräkningstiden som krävs blir alldeles för lång. Det behövs därför nya metoder för att hantera stora system. Ett system är ofta uppbyggt av sammankopplade komponenter till en fung-erande enhet. Detta kan vara både på en liten skala, till exempel ett kretskort, och stor skala, till exempel maskinerna i papperstillverkning eller Sveriges elnät. Komponenterna har ofta separata deluppgifter som tillsammans utgör systemets beteende eller slutprodukt. Vanligt är att varje komponent kan påverkas av separata styrsignaler och att beteendet hos en komponent enbart direkt påverkar ett fåtal andra komponenter, vilka benämns som grannar till komponenten. Detta ger upphov till en sammankopplingsstruktur hos hela systemet. En vanlig regulator tar inte hänsyn till denna struktur, utan betraktar det endast som ett stort system. Den hämtar mätningar från alla komponenter och bestämmer styrsignalerna för alla komponenter utifrån dessa. För ett system med många komponenter blir detta en väldigt komplicerad och oöverskådlig procedur. Eftersom alla mätningar måste samlas på ett ställe krävs dessutom ett stort nätverk att skicka informationen över ett potentiellt stort avstånd. Ett alternativ till vanlig reglering för dessa system, är distribuerad reglering. Istället för en stor central regulator, innebär detta koncept att enklare regulatorer designas för varje komponent eller möjligtvis grupp av komponenter. Varje individuell regulator kommunicerar nu med ett fåtal av de angränsande regulatorerna. Alltså har varje regulator endast partiell information om beteendet av det sammankopplade systemet. Målet med regleringen är fortfarande att hela det sammankopplade systemet ska bete sig så bra som möjligt. Att bestämma distribuerade linjär-kvadratiska regulatorer visar sig dock vara mycket svårt för generella systembeskrivningar, även för små system. Avhandlingens bidrag är metoder för att hitta distribuerade linjär-kvadratiska regulatorer för storskaliga sammankopplade system. Alltså behandlas de båda problemen som tidigare nämnts. Det finns andra existerande metoder för dessa problem. De kräver ofta stora restriktioner på både systemet och regulatorerna som ska användas, för att vara applicerbara. Metoderna som diskuteras i avhandlingen är mer generella i den mening att sådana krav hålls till ett minimum. Detta gör att metoderna är applicerbara på fler distribuerade och storskaliga system. Ett exempel som undersöks i avhandlingen är styrningen av en stor deformerbar spegel som används i teleskop. Eftersom modellerna som krävs för att beskriva spegeln är mycket stora, lämpar metoderna i avhandlingen sig väl för att bestämma en linjär-kvadratisk regulator. Utifrån mått på prestandan, välanvända i den astronomiska forskningsvärlden, visar det sig att den beräknade regulatorn står sig mycket väl jämfört med regulatorer beräknade med andra metoder. Detta illustrerar vikten och användbarheten av metoderna som presenteras i avhandlingen.